Matemática discreta Ejemplos

${(x + 2)}^{3} = x^{2} + 8$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 2)}^{3} - x^{2} = 8$

Paso 1.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Paso 2

Simplifica ${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8$ .

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Paso 2.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} + 0 = 0$

Paso 2.2.2

Suma $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2}$ y $0$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} = 0$

Paso 2.3

Resta $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$x^{3} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 3

Factoriza $x$ de $x^{3} + 5 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $5 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + 12 x = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $12 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 12 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ .

$x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $x^{2} + 5 x + 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{2} + 5 x + 12$ igual a $0$ .

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{2} + 5 x + 12 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = 12$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Paso 6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.3

Resta $48$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Paso 6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.3

Resta $48$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.4.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Paso 6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Paso 6.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Paso 6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.3

Resta $48$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.5.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Paso 6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Paso 6.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$