Matemática discreta Ejemplos

${(5 m - 6)}^{2} = 7$

Paso 1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

${(5 m - 6)}^{2} - 7 = 0$

Paso 2

Simplifica ${(5 m - 6)}^{2} - 7$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(5 m - 6)}^{2}$ como $(5 m - 6) (5 m - 6)$ .

$(5 m - 6) (5 m - 6) - 7 = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(5 m - 6) (5 m - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 m (5 m - 6) - 6 (5 m - 6) - 7 = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 m (5 m) + 5 m \cdot - 6 - 6 (5 m - 6) - 7 = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 m (5 m) + 5 m \cdot - 6 - 6 (5 m) - 6 \cdot - 6 - 7 = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 \cdot 5 m \cdot m + 5 m \cdot - 6 - 6 (5 m) - 6 \cdot - 6 - 7 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $m$ por $m$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.2.1

Mueve $m$ .

$5 \cdot 5 (m \cdot m) + 5 m \cdot - 6 - 6 (5 m) - 6 \cdot - 6 - 7 = 0$

Paso 2.1.3.1.2.2

Multiplica $m$ por $m$ .

$5 \cdot 5 m^{2} + 5 m \cdot - 6 - 6 (5 m) - 6 \cdot - 6 - 7 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 m^{2} + 5 m \cdot - 6 - 6 (5 m) - 6 \cdot - 6 - 7 = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $- 6$ por $5$ .

$25 m^{2} - 30 m - 6 (5 m) - 6 \cdot - 6 - 7 = 0$

Paso 2.1.3.1.5

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$25 m^{2} - 30 m - 30 m - 6 \cdot - 6 - 7 = 0$

Paso 2.1.3.1.6

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$25 m^{2} - 30 m - 30 m + 36 - 7 = 0$

Paso 2.1.3.2

Resta $30 m$ de $- 30 m$ .

$25 m^{2} - 60 m + 36 - 7 = 0$

Paso 2.2

Resta $7$ de $36$ .

$25 m^{2} - 60 m + 29 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 25$ , $b = - 60$ y $c = 29$ en la fórmula cuadrática y resuelve $m$ .

$\frac{60 \pm \sqrt{{(- 60)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 29)}}{2 \cdot 25}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 60$ a la potencia de $2$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 4 \cdot 25 \cdot 29}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 25 \cdot 29$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 100 \cdot 29}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 100$ por $29$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2900}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.3

Resta $2900$ de $3600$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{700}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.4

Reescribe $700$ como $10^{2} \cdot 7$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $100$ de $700$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{100 (7)}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$m = \frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$m = \frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{50}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{50}$ .

$m = \frac{6 \pm \sqrt{7}}{5}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 60$ a la potencia de $2$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 4 \cdot 25 \cdot 29}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 25 \cdot 29$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 100 \cdot 29}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 100$ por $29$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2900}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.3

Resta $2900$ de $3600$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{700}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.4

Reescribe $700$ como $10^{2} \cdot 7$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $100$ de $700$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{100 (7)}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$m = \frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$m = \frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{50}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{50}$ .

$m = \frac{6 \pm \sqrt{7}}{5}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$m = \frac{6 + \sqrt{7}}{5}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 60$ a la potencia de $2$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 4 \cdot 25 \cdot 29}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 25 \cdot 29$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 100 \cdot 29}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 100$ por $29$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2900}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.1.3

Resta $2900$ de $3600$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{700}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.1.4

Reescribe $700$ como $10^{2} \cdot 7$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $100$ de $700$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{100 (7)}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$m = \frac{60 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$m = \frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$m = \frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{50}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{60 \pm 10 \sqrt{7}}{50}$ .

$m = \frac{6 \pm \sqrt{7}}{5}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$m = \frac{6 - \sqrt{7}}{5}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$m = \frac{6 + \sqrt{7}}{5}, \frac{6 - \sqrt{7}}{5}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$m = \frac{6 + \sqrt{7}}{5}, \frac{6 - \sqrt{7}}{5}$

Forma decimal:

$m = 1.72915026 \dots, 0.67084973 \dots$