Matemática discreta Ejemplos

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} = - 41$

Paso 1

Suma $41$ a ambos lados de la ecuación.

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2

Simplifica ${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(1 - y)}^{2}$ como $(1 - y) (1 - y)$ .

$(1 - y) (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(1 - y) (1 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$1 - y - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - y - y - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y \cdot y + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - y - y + 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$1 - y - y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3.2

Resta $y$ de $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - 2 y + y^{2} + 1 y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.6.1

Mueve $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - (y \cdot y) - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41$ .

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Paso 2.2.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$1 - 2 y + y + 0 - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.2.2

Suma $1 - 2 y + y$ y $0$ .

$1 - 2 y + y - y^{2} + 41 = 0$

Paso 2.3

Suma $1$ y $41$ .

$- 2 y + y - y^{2} + 42 = 0$

Paso 2.4

Suma $- 2 y$ y $y$ .

$- y - y^{2} + 42 = 0$

Paso 3

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$- u - u^{2} + 42 = 0$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$- u^{2} - u + 42 = 0$

Paso 4.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 42 = - 42$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$- u^{2} - (u) + 42 = 0$

Paso 4.2.2

Reescribe $- 1$ como $6$ más $- 7$

$- u^{2} + (6 - 7) u + 42 = 0$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- u^{2} + 6 u - 7 u + 42 = 0$

Paso 4.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- u^{2} + 6 u) - 7 u + 42 = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (- u + 6) + 7 (- u + 6) = 0$

Paso 4.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u + 7) = 0$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$(- y + 6) (y + 7) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- y + 6 = 0$

$y + 7 = 0$

Paso 7

Establece $- y + 6$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.1

Establece $- y + 6$ igual a $0$ .

$- y + 6 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $- y + 6 = 0$ en $y$ .

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Paso 7.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = - 6$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $- y = - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $- y = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 7.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$y = 6$

Paso 8

Establece $y + 7$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 8.1

Establece $y + 7$ igual a $0$ .

$y + 7 = 0$

Paso 8.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 7$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- y + 6) (y + 7) = 0$ verdadera.

$y = 6, - 7$