Matemática discreta Ejemplos

$y = 4 \cos (3 x + \frac{π}{2})$

Paso 1

Establece $4 \cos (3 x + \frac{π}{2})$ igual a $0$ .

$4 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Divide cada término en $4 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $4 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (3 x + \frac{π}{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cos (3 x + \frac{π}{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.1.2.1.2

Divide $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\cos (3 x + \frac{π}{2}) = \frac{0}{4}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$\cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$3 x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π - π}{2}$

Paso 2.4.3

Resta $π$ de $π$ .

$3 x = \frac{0}{2}$

Paso 2.4.4

Divide $0$ por $2$ .

$3 x = 0$

Paso 2.5

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x = 0$

Paso 2.6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$3 x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.7

Resuelve $x$

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Paso 2.7.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.7.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.7.1.2

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.7.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.7.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.7.1.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.7.2.1

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{3 π - π}{2}$

Paso 2.7.2.3

Resta $π$ de $3 π$ .

$3 x = \frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.2.4.1

Cancela el factor común.

$3 x = \frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.2.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$3 x = π$

Paso 2.7.3

Divide cada término en $3 x = π$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.7.3.1

Divide cada término en $3 x = π$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Paso 2.7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.7.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Paso 2.7.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 2.8

Obtén el período de $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ .

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Paso 2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.8.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 2.9

El período de la función $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3