Matemática discreta Ejemplos

$6 e^{x} = 9 - e^{- x}$

Paso 1

Suma $e^{- x}$ a ambos lados de la ecuación.

$6 e^{x} + e^{- x} = 9$

Paso 2

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$6 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 9$

Paso 3

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$6 u + u^{- 1} = 9$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 u + \frac{1}{u} = 9$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $6 u + \frac{1}{u} = 9$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $6 u + \frac{1}{u} = 9$ por $u$ .

$6 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 9 u$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.1.1

Mueve $u$ .

$6 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 9 u$

Paso 5.2.2.1.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$6 u^{2} + \frac{1}{u} u = 9 u$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$6 u^{2} + \frac{1}{u} u = 9 u$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$6 u^{2} + 1 = 9 u$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $9 u$ de ambos lados de la ecuación.

$6 u^{2} + 1 - 9 u = 0$

Paso 5.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3.3

Sustituye los valores $a = 6$ , $b = - 9$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 1)}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.3.4

Simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.4.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 6 \cdot 1$ .

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Paso 5.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot 1}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.3.4.1.2.2

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.3.4.1.3

Resta $24$ de $81$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Paso 5.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}, \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$

Paso 6

Sustituye $\frac{9 + \sqrt{57}}{12}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{9 + \sqrt{57}}{12} = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $\frac{9 + \sqrt{57}}{12} = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}$ .

$e^{x} = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Paso 7.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Paso 7.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Paso 7.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Paso 8

Sustituye $\frac{9 - \sqrt{57}}{12}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{9 - \sqrt{57}}{12} = e^{x}$

Paso 9

Resuelve $\frac{9 - \sqrt{57}}{12} = e^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$ .

$e^{x} = \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$

Paso 9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Paso 9.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 9.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Paso 9.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Paso 9.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Paso 10

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Forma decimal:

$u = 1.37915286 \dots, 0.12084713 \dots$

Paso 12