Matemática discreta Ejemplos

$2 v^{2} - 10 v - 20 = 8$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$2 v^{2} - 10 v = 8 + 20$

Paso 1.2

Suma $8$ y $20$ .

$2 v^{2} - 10 v = 28$

Paso 2

Divide cada término en $2 v^{2} - 10 v = 28$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 v^{2} - 10 v = 28$ por $2$ .

$\frac{2 v^{2}}{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 v^{2}}{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $v^{2}$ por $1$ .

$v^{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 10 v$ .

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2} = \frac{28}{2}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2 (1)} = \frac{28}{2}$

Paso 2.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2}$

Paso 2.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$v^{2} + \frac{- 5 v}{1} = \frac{28}{2}$

Paso 2.2.1.2.2.4

Divide $- 5 v$ por $1$ .

$v^{2} - 5 v = \frac{28}{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide $28$ por $2$ .

$v^{2} - 5 v = 14$

Paso 3

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 4

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$v^{2} - 5 v + {(- \frac{5}{2})}^{2} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 5

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$v^{2} - 5 v + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$v^{2} - 5 v + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$v^{2} - 5 v + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Paso 5.2.1.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{25}{2^{2}}$

Paso 5.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{25}{4}$

Paso 5.2.1.2

Para escribir $14$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 5.2.1.3

Combina $14$ y $\frac{4}{4}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{14 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 5.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{14 \cdot 4 + 25}{4}$

Paso 5.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.5.1

Multiplica $14$ por $4$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{56 + 25}{4}$

Paso 5.2.1.5.2

Suma $56$ y $25$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{81}{4}$

Paso 6

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(v - \frac{5}{2})}^{2}$ .

${(v - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{81}{4}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $v$ .

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Paso 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$v - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{81}{4}}$

Paso 7.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{81}{4}}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{81}{4}}$ como $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$ .

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{\sqrt{4}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 7.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{2}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$v - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$

Paso 7.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Suma $\frac{5}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$v = \frac{9}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 7.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{9 + 5}{2}$

Paso 7.3.2.3

Suma $9$ y $5$ .

$v = \frac{14}{2}$

Paso 7.3.2.4

Divide $14$ por $2$ .

$v = 7$

Paso 7.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$v - \frac{5}{2} = - \frac{9}{2}$

Paso 7.3.4

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.4.1

Suma $\frac{5}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$v = - \frac{9}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 7.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{- 9 + 5}{2}$

Paso 7.3.4.3

Suma $- 9$ y $5$ .

$v = \frac{- 4}{2}$

Paso 7.3.4.4

Divide $- 4$ por $2$ .

$v = - 2$

Paso 7.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$v = 7, - 2$