Matemática discreta Ejemplos

$16 x^{2} + 25 = 40 x$

Paso 1

Simplifica la ecuación en una forma adecuada para completar el cuadrado.

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Paso 1.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} = 40 x - 25$

Paso 1.2

Resta $40 x$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 40 x = - 25$

Paso 2

Divide cada término en $16 x^{2} - 40 x = - 25$ por $16$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $16 x^{2} - 40 x = - 25$ por $16$ .

$\frac{16 x^{2}}{16} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 x^{2}}{16} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $- 40$ y $16$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $8$ de $- 40 x$ .

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{16} = \frac{- 25}{16}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{8 (2)} = \frac{- 25}{16}$

Paso 2.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{8 \cdot 2} = \frac{- 25}{16}$

Paso 2.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{- 5 x}{2} = \frac{- 25}{16}$

Paso 2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = \frac{- 25}{16}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = - \frac{25}{16}$

Paso 3

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Paso 4

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- \frac{5}{4})}^{2} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Paso 5

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{25}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{25}{16}$

Paso 5.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{- 25 + 25}{16}$

Paso 5.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.2.2.1

Suma $- 25$ y $25$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{0}{16}$

Paso 5.2.1.2.2.2

Divide $0$ por $16$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = 0$

Paso 6

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(x - \frac{5}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{5}{4})}^{2} = 0$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - \frac{5}{4}$ igual a $0$ .

$x - \frac{5}{4} = 0$

Paso 7.2

Suma $\frac{5}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{5}{4}$