Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 5 \cos^{2} (π x)$

Paso 1

Establece $5 \cos^{2} (π x)$ igual a $0$ .

$5 \cos^{2} (π x) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Divide cada término en $5 \cos^{2} (π x) = 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $5 \cos^{2} (π x) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 2.1.2.1.2

Divide $\cos^{2} (π x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (π x) = \frac{0}{5}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$\cos^{2} (π x) = 0$

Paso 2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (π x) = \pm 0$

Paso 2.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\cos (π x) = 0$

Paso 2.4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$π x = \arccos (0)$

Paso 2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$π x = \frac{π}{2}$

Paso 2.6

Divide cada término en $π x = \frac{π}{2}$ por $π$ y simplifica.

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Paso 2.6.1

Divide cada término en $π x = \frac{π}{2}$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Paso 2.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Paso 2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 2.6.3.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.6.3.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 2.6.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.7

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$π x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.8

Resuelve $x$

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Paso 2.8.1

Simplifica.

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Paso 2.8.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.8.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.8.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.8.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$π x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.8.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.8.2

Divide cada término en $π x = \frac{3 π}{2}$ por $π$ y simplifica.

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Paso 2.8.2.1

Divide cada término en $π x = \frac{3 π}{2}$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.2.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Paso 2.8.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Paso 2.8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 2.8.2.3.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.8.2.3.2.1

Factoriza $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 2.8.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Paso 2.8.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 2.9

Obtén el período de $\cos (π x)$ .

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Paso 2.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.9.2

Reemplaza $b$ con $π$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| π |}$

Paso 2.9.3

$π$ es aproximadamente $3.14159265$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{π}$

Paso 2.9.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{π}$

Paso 2.9.4.2

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.10

El período de la función $\cos (π x)$ es $2$ , por lo que los valores se repetirán cada $2$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{1}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{1}{2} + 1 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3