Matemática discreta Ejemplos

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25$

Paso 1

Establece $x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25$ igual a $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 25, \pm 5$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 25$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 9 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 25$

Paso 2.1.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 9 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 25$

Paso 2.1.1.3.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$1 + 9 + 15 \cdot 1 - 25$

Paso 2.1.1.3.5

Suma $1$ y $9$ .

$10 + 15 \cdot 1 - 25$

Paso 2.1.1.3.6

Multiplica $15$ por $1$ .

$10 + 15 - 25$

Paso 2.1.1.3.7

Suma $10$ y $15$ .

$25 - 25$

Paso 2.1.1.3.8

Resta $25$ de $25$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{x - 1}$

Paso 2.1.1.5

Divide $x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25$ por $x - 1$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$15 x$

$25$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x^{2} - 10 x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$25 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$25 x$	-	$25$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $25 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$25 x$	-	$25$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$25 x$	-	$25$
							+	$25 x$	-	$25$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $25 x - 25$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$25 x$	-	$25$
							-	$25 x$	+	$25$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$15 x$	-	$25$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$25 x$	-	$25$
							-	$25 x$	+	$25$
										$0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 10 x + 25$

Paso 2.1.1.6

Escribe $x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Paso 2.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 2.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 2.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$(x - 1) {(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.4

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve ${(x + 5)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 2.4.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) {(x + 5)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 1, - 5$

Paso 3