Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

Paso 1

Establece $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ igual a $0$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Paso 2.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Paso 2.1.1.3.4

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

Paso 2.1.1.3.6

Suma $- 1$ y $3$ .

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

Paso 2.1.1.3.7

Multiplica $13$ por $1$ .

$2 + 13 - 15$

Paso 2.1.1.3.8

Suma $2$ y $13$ .

$15 - 15$

Paso 2.1.1.3.9

Resta $15$ de $15$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

Paso 2.1.1.5

Divide $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ por $x - 1$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - 2 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $15 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $15 x - 15$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} + 2 x + 15$

Paso 2.1.1.6

Escribe $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

Paso 2.1.2.1.1.2

Reescribe $2$ como $- 3$ más $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

Paso 2.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

Paso 2.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

Paso 2.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

Paso 2.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.4

Establece $- x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $- x - 3$ igual a $0$ .

$- x - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $- x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 3$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $- x = 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $- x = 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Divide $3$ por $- 1$ .

$x = - 3$

Paso 2.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 3, 5$

Paso 3