Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = (\frac{π}{3}) (- \sin (\frac{π x}{3}))$

Paso 1

Establece $(\frac{π}{3}) (- \sin (\frac{π x}{3}))$ igual a $0$ .

$(\frac{π}{3}) (- \sin (\frac{π x}{3})) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} (\frac{π}{3} \cdot (- 1 \sin (\frac{π x}{3}))) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.1

Simplifica $\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} (\frac{π}{3} \cdot (- 1 \sin (\frac{π x}{3})))$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común de $\frac{π}{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1

Factoriza $\frac{π}{3}$ de $\frac{π}{3} \cdot - 1$ .

$\frac{1}{\frac{π}{3} (- 1)} (\frac{π}{3} \cdot (- 1 \sin (\frac{π x}{3}))) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} (\frac{π}{3} (- 1 \sin (\frac{π x}{3}))) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2.1.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 1} (- 1 \sin (\frac{π x}{3})) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2.1.1.2

Combina $\frac{1}{- 1}$ y $\sin (\frac{π x}{3})$ .

$- 1 \frac{\sin (\frac{π x}{3})}{- 1} = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sin (\frac{π x}{3})}{- 1}$ .

$- 1 (- 1 \cdot \sin (\frac{π x}{3})) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2.1.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sin (\frac{π x}{3})$ como $- \sin (\frac{π x}{3})$ .

$- 1 (- \sin (\frac{π x}{3})) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $- 1 (- \sin (\frac{π x}{3}))$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Multiplica $\sin (\frac{π x}{3})$ por $1$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica $\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Combina $\frac{π}{3}$ y $- 1$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{\frac{π \cdot - 1}{3}} \cdot 0$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $π$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{\frac{- 1 \cdot π}{3}} \cdot 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{- \frac{π}{3}} \cdot 0$

Paso 2.2.2.1.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.2.2.1.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{π}{3}} \cdot 0$

Paso 2.2.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (\frac{π x}{3}) = - \frac{1}{\frac{π}{3}} \cdot 0$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (\frac{π x}{3}) = - (1 \frac{3}{π}) \cdot 0$

Paso 2.2.2.1.5

Multiplica $\frac{3}{π}$ por $1$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = - \frac{3}{π} \cdot 0$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica $- \frac{3}{π} \cdot 0$ .

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Paso 2.2.2.1.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = 0 \frac{3}{π}$

Paso 2.2.2.1.6.2

Multiplica $0$ por $\frac{3}{π}$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = 0$

Paso 2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{π x}{3} = \arcsin (0)$

Paso 2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{π x}{3} = 0$

Paso 2.5

Establece el numerador igual a cero.

$π x = 0$

Paso 2.6

Divide cada término en $π x = 0$ por $π$ y simplifica.

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Paso 2.6.1

Divide cada término en $π x = 0$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Paso 2.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Paso 2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.1

Divide $0$ por $π$ .

$x = 0$

Paso 2.7

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{π x}{3} = π - 0$

Paso 2.8

Resuelve $x$

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Paso 2.8.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - 0)$

Paso 2.8.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.2.1.1

Simplifica $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Paso 2.8.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.8.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - 0)$

Paso 2.8.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - 0)$

Paso 2.8.2.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.8.2.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} (π - 0)$

Paso 2.8.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - 0)$

Paso 2.8.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{π} (π - 0)$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.2.2.1

Simplifica $\frac{3}{π} (π - 0)$ .

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Paso 2.8.2.2.1.1

Resta $0$ de $π$ .

$x = \frac{3}{π} π$

Paso 2.8.2.2.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.8.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{3}{π} π$

Paso 2.8.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = 3$

Paso 2.9

Obtén el período de $\sin (\frac{π x}{3})$ .

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Paso 2.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.9.2

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Paso 2.9.3

$\frac{π}{3}$ es aproximadamente $1.04719755$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Paso 2.9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{3}{π}$

Paso 2.9.5

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.9.5.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Paso 2.9.5.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Paso 2.9.5.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 3$

Paso 2.9.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$6$

Paso 2.10

El período de la función $\sin (\frac{π x}{3})$ es $6$ , por lo que los valores se repetirán cada $6$ radianes en ambas direcciones.

$x = 6 n, 3 + 6 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.11

Consolida las respuestas.

$x = 3 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3