Matemática discreta Ejemplos

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$

Paso 1

Establece $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ igual a $0$ .

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 5$

Paso 2.1.3

Sustituye $- 5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $- 5$ en el polinomio.

$5 {(- 5)}^{3} + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Paso 2.1.3.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$5 \cdot - 125 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 125$ .

$- 625 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Paso 2.1.3.4

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$- 625 + 27 \cdot 25 + 11 \cdot - 5 + 5$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $27$ por $25$ .

$- 625 + 675 + 11 \cdot - 5 + 5$

Paso 2.1.3.6

Suma $- 625$ y $675$ .

$50 + 11 \cdot - 5 + 5$

Paso 2.1.3.7

Multiplica $11$ por $- 5$ .

$50 - 55 + 5$

Paso 2.1.3.8

Resta $55$ de $50$ .

$- 5 + 5$

Paso 2.1.3.9

Suma $- 5$ y $5$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $- 5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5}{x + 5}$

Paso 2.1.5

Divide $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ por $x + 5$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$5$

$5 x^{3}$

$27 x^{2}$

$11 x$

$5$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			+	$5 x^{3}$	+	$25 x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{3} + 25 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} + 10 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							+	$x$	+	$5$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 5$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$5 x^{2} + 2 x + 1$

Paso 2.1.6

Escribe $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ como un conjunto de factores.

$(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.4

Establece $5 x^{2} + 2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $5 x^{2} + 2 x + 1$ igual a $0$ .

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 5$ , $b = 2$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $20$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 5}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{10}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 4 i}{10}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 i}{5}$

Paso 2.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 5, - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

Paso 3