Matemática discreta Ejemplos

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x^{2} - 18 x - 4 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$- 18 x^{2} - 18 x + x^{4} - 3 x^{3} - 4 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $- 18 x$ de $- 18 x^{2} - 18 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $- 18 x$ de $- 18 x^{2}$ .

$- 18 x \cdot x - 18 x + x^{4} - 3 x^{3} - 4 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $- 18 x$ de $- 18 x$ .

$- 18 x \cdot x - 18 x \cdot 1 + x^{4} - 3 x^{3} - 4 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $- 18 x$ de $- 18 x (x) - 18 x (1)$ .

$- 18 x (x + 1) + x^{4} - 3 x^{3} - 4 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $x^{4} - 3 x^{3} - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 1.3.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 1.3.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 4$

Paso 1.3.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 4$

Paso 1.3.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 4$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$1 + 3 - 4$

Paso 1.3.3.5

Suma $1$ y $3$ .

$4 - 4$

Paso 1.3.3.6

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 4}{x + 1}$

Paso 1.3.5

Divide $x^{4} - 3 x^{3} - 4$ por $x + 1$ .

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Paso 1.3.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 1.3.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 1.3.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 1.3.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 1.3.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Paso 1.3.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 1.3.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 1.3.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 1.3.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 1.3.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 1.3.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Paso 1.3.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Paso 1.3.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Paso 1.3.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{2} + 4 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Paso 1.3.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Paso 1.3.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Paso 1.3.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Paso 1.3.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Paso 1.3.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x - 4$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Paso 1.3.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Paso 1.3.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 4$

Paso 1.3.6

Escribe $x^{4} - 3 x^{3} - 4$ como un conjunto de factores.

$- 18 x (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Paso 1.4

Factoriza $x + 1$ de $- 18 x (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 4)$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x + 1$ de $- 18 x (x + 1)$ .

$(x + 1) (- 18 x) + (x + 1) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Paso 1.4.2

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (- 18 x) + (x + 1) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 4)$ .

$(x + 1) (- 18 x + x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Paso 1.5

Suma $- 18 x$ y $4 x$ .

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2} - 14 x - 4) = 0$

Paso 1.6

Factoriza.

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Paso 1.6.1

Factoriza $x^{3} - 4 x^{2} - 14 x - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.6.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 1.6.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 1.6.1.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.6.1.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 4$

Paso 1.6.1.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 4$

Paso 1.6.1.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot - 2 - 4$

Paso 1.6.1.3.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$- 8 - 16 - 14 \cdot - 2 - 4$

Paso 1.6.1.3.5

Resta $16$ de $- 8$ .

$- 24 - 14 \cdot - 2 - 4$

Paso 1.6.1.3.6

Multiplica $- 14$ por $- 2$ .

$- 24 + 28 - 4$

Paso 1.6.1.3.7

Suma $- 24$ y $28$ .

$4 - 4$

Paso 1.6.1.3.8

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 1.6.1.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 14 x - 4}{x + 2}$

Paso 1.6.1.5

Divide $x^{3} - 4 x^{2} - 14 x - 4$ por $x + 2$ .

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Paso 1.6.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4$

Paso 1.6.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$

Paso 1.6.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 1.6.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 1.6.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 1.6.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$

Paso 1.6.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$

Paso 1.6.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Paso 1.6.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Paso 1.6.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$2 x$

Paso 1.6.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$2 x$	-	$4$

Paso 1.6.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$2 x$	-	$4$

Paso 1.6.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$2 x$	-	$4$
							-	$2 x$	-	$4$

Paso 1.6.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x - 4$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$2 x$	-	$4$
							+	$2 x$	+	$4$

Paso 1.6.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$14 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$2 x$	-	$4$
							+	$2 x$	+	$4$
										$0$

Paso 1.6.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 6 x - 2$

Paso 1.6.1.6

Escribe $x^{3} - 4 x^{2} - 14 x - 4$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) ((x + 2) (x^{2} - 6 x - 2)) = 0$

Paso 1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x + 2) (x^{2} - 6 x - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 2 = 0$

Paso 3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5

Establece $x^{2} - 6 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x^{2} - 6 x - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x - 2 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x^{2} - 6 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.3

Suma $36$ y $8$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.4

Reescribe $44$ como $2^{2} \cdot 11$ .

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Paso 5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $44$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{11}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + \sqrt{11}, 3 - \sqrt{11}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 2) (x^{2} - 6 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 2, 3 + \sqrt{11}, 3 - \sqrt{11}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 1, - 2, 3 + \sqrt{11}, 3 - \sqrt{11}$

Forma decimal:

$x = - 1, - 2, 6.31662479 \dots, - 0.31662479 \dots$

Paso 8