Matemática discreta Ejemplos

$x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 7 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$8 x^{3} + 8 x^{2} + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{3} + 8 x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{3}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (1) + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (1)$ .

$8 x^{2} (x + 1) + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $x^{4} + 8 x + 7$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Paso 1.3.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 7$

Paso 1.3.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{4} + 8 \cdot - 1 + 7$

Paso 1.3.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 + 8 \cdot - 1 + 7$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$1 - 8 + 7$

Paso 1.3.3.4

Resta $8$ de $1$ .

$- 7 + 7$

Paso 1.3.3.5

Suma $- 7$ y $7$ .

$0$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 8 x + 7}{x + 1}$

Paso 1.3.5

Divide $x^{4} + 8 x + 7$ por $x + 1$ .

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Paso 1.3.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

Paso 1.3.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

Paso 1.3.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 1.3.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 1.3.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 1.3.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 1.3.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 1.3.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Paso 1.3.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Paso 1.3.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Paso 1.3.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

Paso 1.3.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

Paso 1.3.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

Paso 1.3.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

Paso 1.3.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

Paso 1.3.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

Paso 1.3.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

Paso 1.3.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

Paso 1.3.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x + 7$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

Paso 1.3.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

$0$

Paso 1.3.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - x^{2} + x + 7$

Paso 1.3.6

Escribe $x^{4} + 8 x + 7$ como un conjunto de factores.

$8 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Paso 1.4

Factoriza $x + 1$ de $8 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7)$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x + 1$ de $8 x^{2} (x + 1)$ .

$(x + 1) (8 x^{2}) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Paso 1.4.2

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (8 x^{2}) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7)$ .

$(x + 1) (8 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Paso 1.5

Resta $x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} + 7 x^{2} + x + 7) = 0$

Paso 1.6

Factoriza.

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Paso 1.6.1

Reescribe $x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$ en forma factorizada.

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Paso 1.6.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.6.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) ((x^{3} + 7 x^{2}) + x + 7) = 0$

Paso 1.6.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (x^{2} (x + 7) + 1 (x + 7)) = 0$

Paso 1.6.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 7$ .

$(x + 1) ((x + 7) (x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x + 7) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 4.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 5

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 5.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 7) (x^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 7, i, - i$

Paso 7