Matemática discreta Ejemplos

$x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + 17 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Factoriza $u^{2} + 17 u + 16$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $16$ y cuya suma es $17$ .

$1, 16$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u + 1) (u + 16) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 16 = 0$

Paso 4

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 5

Establece $u + 16$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $u + 16$ igual a $0$ .

$u + 16 = 0$

Paso 5.2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 16$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u + 1) (u + 16) = 0$ verdadera.

$u = - 1, - 16$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = - 1$

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = - 1$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 9.2

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 16$

Paso 11.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Paso 11.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Paso 11.3.4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Paso 11.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 4$

Paso 11.3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4 i$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4 i$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4 i, - 4 i$

Paso 12

La solución a $x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$ es $x = i, - i, 4 i, - 4 i$ .

$x = i, - i, 4 i, - 4 i$

Paso 13