Matemática discreta Ejemplos

$X^{2} + X + 1 = 0$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$X^{2} + X = - 1$

Paso 2

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 3

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$X^{2} + X + {(\frac{1}{2})}^{2} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 4

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$X^{2} + X + \frac{1^{2}}{2^{2}} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 4.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$X^{2} + X + \frac{1}{2^{2}} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 4.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 4.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Paso 4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{4}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4.2.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 4 + 1}{4}$

Paso 4.2.1.5.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$

Paso 5

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(X + \frac{1}{2})}^{2}$ .

${(X + \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{3}{4}$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $X$ .

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Paso 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $- \frac{3}{4}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Paso 6.2.1.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $3$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Paso 6.2.1.3

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.2.1.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Paso 6.2.1.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Paso 6.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$X + \frac{1}{2} = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{i}{2}$ y $\sqrt{3}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $X$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$X = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 6.3.2

Reordena $\pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$ y $- \frac{1}{2}$ .

$X = - \frac{1}{2} \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$