Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

Paso 1

Establece $x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 3 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 3 x$ de $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $u^{2} - 5 u + 4$ con el método AC.

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Paso 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 4, - 1$

Paso 2.1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.1.11

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.1.12

Factoriza.

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Paso 2.1.12.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.1.12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 2.1.13.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.1.13.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.13.3

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.14

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.15

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 2.1.15.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.15.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.15.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.16

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.16.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.16.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.1.17

Reordena los términos.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Paso 2.1.18

Factoriza.

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Paso 2.1.18.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 2.1.18.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 2.1.18.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Paso 2.1.18.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 2.1.19

Combina exponentes.

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Paso 2.1.19.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Paso 2.1.19.2

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Paso 2.1.19.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

Paso 2.1.19.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.3

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, 4$

Paso 3