Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18$

Paso 1

Establece $x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18$ igual a $0$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$4 x^{3} - 12 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 12 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} + 3 u - 18$ con el método AC.

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Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $3$ .

$- 3, 6$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} - 3$ de $4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} - 3$ de $4 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} - 3) (4 x + x^{2} + 6) = 0$

Paso 2.1.8

Reordena los términos.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 2.4

Establece $x^{2} + 4 x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2} + 4 x + 6$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $24$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Paso 3