Matemática discreta Ejemplos

$\ln (\sqrt{x + 8}) = 2$

Paso 1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\sqrt{x + 8})} = e^{2}$

Paso 2

Reescribe $\ln (\sqrt{x + 8}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \sqrt{x + 8}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{x + 8} = e^{2}$ .

$\sqrt{x + 8} = e^{2}$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x + 8}}^{2} = {(e^{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 8}$ como ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 8)}^{1} = {(e^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$x + 8 = {(e^{2})}^{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 8 = e^{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x + 8 = e^{4}$

Paso 3.4

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = e^{4} - 8$

Paso 4