Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{42 - 6 x}}$

Paso 1

Cancela el factor común de $2 x^{2} + 2 x - 4$ y $42 - 6 x$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2}) + 2 x - 4}{42 - 6 x}}$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2}) + 2 (x) - 4}{42 - 6 x}}$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (x)$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x) - 4}{42 - 6 x}}$

Paso 1.4

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x) + 2 (- 2)}{42 - 6 x}}$

Paso 1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{42 - 6 x}}$

Paso 1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.1

Factoriza $2$ de $42$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{2 (21) - 6 x}}$

Paso 1.6.2

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{2 (21) + 2 (- 3 x)}}$

Paso 1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (21) + 2 (- 3 x)$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{2 (21 - 3 x)}}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{2 (21 - 3 x)}}$

Paso 1.6.5

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{x^{2} + x - 2}{21 - 3 x}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.1.2

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 14 x + 7^{2}} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 5

Factoriza $3$ de $21 - 3 x$ .

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Paso 5.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{3 (7) - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Paso 5.2

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{3 (7) + 3 (- x)}{x^{2} + x - 2}$

Paso 5.3

Factoriza $3$ de $3 (7) + 3 (- x)$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{3 (7 - x)}{x^{2} + x - 2}$

Paso 6

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{3 (7 - x)}{(x - 1) (x + 2)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combinar.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2) (3 (7 - x))}{{(x - 7)}^{2} ((x - 1) (x + 2))}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2) (3 (7 - x))}{{(x - 7)}^{2} ((x - 1) (x + 2))}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x - 1) (3 (7 - x))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $7 - x$ y ${(x - 7)}^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{(2 x - 1) (3 (- 1 (- 7) - x))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Paso 7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(2 x - 1) (3 (- 1 (- 7) - (x)))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Paso 7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 7) - (x)$ .

$\frac{(2 x - 1) (3 (- 1 (- 7 + x)))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Paso 7.3.4

Reordena los términos.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3 (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Paso 7.3.5

Factoriza $x - 7$ de $(2 x - 1) \cdot 3 (- 1 (x - 7))$ .

$\frac{(x - 7) ((2 x - 1) \cdot 3 \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Paso 7.3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.6.1

Factoriza $x - 7$ de ${(x - 7)}^{2} (x - 1)$ .

$\frac{(x - 7) ((2 x - 1) \cdot 3 \cdot (- 1))}{(x - 7) ((x - 7) (x - 1))}$

Paso 7.3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 7) ((2 x - 1) \cdot 3 \cdot (- 1))}{(x - 7) ((x - 7) (x - 1))}$

Paso 7.3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3 \cdot (- 1)}{(x - 7) (x - 1)}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 3}{(x - 7) (x - 1)}$

Paso 7.4.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $2 x - 1$ .

$\frac{- 3 \cdot (2 x - 1)}{(x - 7) (x - 1)}$

Paso 7.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (2 x - 1)}{(x - 7) (x - 1)}$