Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y}}{x y}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x y$ .

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y}$ por $\frac{x y}{x y}$ .

$\frac{x y}{x y} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y} \frac{1}{x y}$

Paso 2.2

Combinar.

$\frac{x y (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x y \frac{1}{x} + x y (- \frac{1}{y})}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 4

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{x (y) \frac{1}{x} + x y (- \frac{1}{y})}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{1}{x} + x y (- \frac{1}{y})}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y + x y (- \frac{1}{y})}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{y + x y \frac{- 1}{y}}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 4.2.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{y + y x \frac{- 1}{y}}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y + y x \frac{- 1}{y}}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y + x \cdot - 1}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{y - 1 \cdot x}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 5.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{y - x}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{y - x}{x \cdot x y + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{y - x}{x^{2} y + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y - x}{x^{2} y - x y \cdot y} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 6.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1

Mueve $y$ .

$\frac{y - x}{x^{2} y - x (y \cdot y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 6.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y - x}{x^{2} y - x y^{2}} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 6.4

Factoriza $x y$ de $x^{2} y - x y^{2}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{y - x}{x y (x) - x y^{2}} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 6.4.2

Factoriza $x y$ de $- x y^{2}$ .

$\frac{y - x}{x y (x) + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 6.4.3

Factoriza $x y$ de $x y (x) + x y (- y)$ .

$\frac{y - x}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $y - x$ y $x - y$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{- 1 (- y) - x}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- 1 (- y) - (x)}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 7.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- y) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- y + x)}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 7.1.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (x - y)}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 7.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x - y)}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 7.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x y} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x y} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 8

Multiplica $- \frac{1}{x y} \cdot \frac{1}{x y}$ .

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{x y}$ por $\frac{1}{x y}$ .

$- \frac{1}{x y (x y)}$

Paso 8.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x y \cdot y}$

Paso 8.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1} y \cdot y}$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{x^{1 + 1} y \cdot y}$

Paso 8.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} y \cdot y}$

Paso 8.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} (y^{1} y)}$

Paso 8.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} (y^{1} y^{1})}$

Paso 8.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{x^{2} y^{1 + 1}}$

Paso 8.9

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$