Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Eleva $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1}}{- 3}$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{- 3}$

Paso 3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}}{- 3}$

Paso 4

Reescribe ${(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}$ como $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Paso 5

Expande $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6.1.6

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6.1.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6.1.8

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Paso 6.1.9

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 5}}{- 3}$

Paso 6.1.10

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{25}}{- 3}$

Paso 6.1.11

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5^{2}}}{- 3}$

Paso 6.1.12

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + 5}{- 3}$

Paso 6.2

Suma $2$ y $5$ .

$\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

Paso 6.3

Suma $\sqrt{10}$ y $\sqrt{10}$ .

$\frac{7 + 2 \sqrt{10}}{- 3}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Forma decimal:

$- 4.44151844 \dots$