Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\frac{4 a + 12}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 1

Cancela el factor común de $4 a + 12$ y $2 a - 10$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $4 a$ .

$\frac{\frac{2 (2 a) + 12}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{\frac{2 (2 a) + 2 \cdot 6}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 a) + 2 (6)$ .

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2 a$ .

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a) - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 a + 2 \cdot - 5}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 a + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a - 5)}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a - 5)}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 a + 6}{a - 5}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 a + 6}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Paso 3

Factoriza $2$ de $2 a + 6$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 a$ .

$\frac{2 (a) + 6}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 a + 2 \cdot 3}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $2 a + 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Paso 4

Factoriza $a^{2} - a - 20$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{2 - 9}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Resta $9$ de $2$ .

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{- 7}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $a - 5$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{- 7}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (a + 3) \frac{a + 4}{- 7}$

Paso 5.3

Combina $\frac{a + 4}{- 7}$ y $2$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 2}{- 7} (a + 3)$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $a + 4$ .

$\frac{2 \cdot (a + 4)}{- 7} (a + 3)$

Paso 5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cdot (a + 4)}{7} (a + 3)$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (a + 4)}{7} a - \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$

Paso 5.6

Combina $a$ y $\frac{2 (a + 4)}{7}$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} - \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$

Paso 6

Multiplica $- \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$ .

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} - 3 \frac{2 (a + 4)}{7}$

Paso 6.2

Combina $- 3$ y $\frac{2 (a + 4)}{7}$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} + \frac{- 3 (2 (a + 4))}{7}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} + \frac{- 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- a (2 (a + 4)) - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- a (2 a + 2 \cdot 4) - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{- a (2 a + 8) - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- a (2 a) - a \cdot 8 - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 1 \cdot 2 a \cdot a - a \cdot 8 - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2.5

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 a \cdot a - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.6.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.6.1.1

Mueve $a$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 (a \cdot a) - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2.6.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 a^{2} - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Paso 7.2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 a - 6 \cdot 4}{7}$

Paso 7.2.8

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 a - 24}{7}$

Paso 7.3

Resta $6 a$ de $- 8 a$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 14 a - 24}{7}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Factoriza $2$ de $- 2 a^{2} - 14 a - 24$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2 (- a^{2}) - 14 a - 24}{7}$

Paso 8.1.2

Factoriza $2$ de $- 14 a$ .

$\frac{2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a) - 24}{7}$

Paso 8.1.3

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$\frac{2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a) + 2 (- 12)}{7}$

Paso 8.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a)$ .

$\frac{2 (- a^{2} - 7 a) + 2 (- 12)}{7}$

Paso 8.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- a^{2} - 7 a) + 2 (- 12)$ .

$\frac{2 (- a^{2} - 7 a - 12)}{7}$

Paso 8.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 8.2.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 a$ .

$\frac{2 (- a^{2} - 7 (a) - 12)}{7}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 3$ más $- 4$

$\frac{2 (- a^{2} + (- 3 - 4) a - 12)}{7}$

Paso 8.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- a^{2} - 3 a - 4 a - 12)}{7}$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((- a^{2} - 3 a) - 4 a - 12)}{7}$

Paso 8.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (a (- a - 3) + 4 (- a - 3))}{7}$

Paso 8.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- a - 3$ .

$\frac{2 ((- a - 3) (a + 4))}{7}$

$\frac{2 (- a - 3) (a + 4)}{7}$

Paso 9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{2 (- (a) - 3) (a + 4)}{7}$

Paso 9.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (a) - 1 (3)) (a + 4)}{7}$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- (a) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Paso 9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.1

Reescribe $- (a + 3)$ como $- 1 (a + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Paso 9.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Paso 9.4.3

Reordena los factores en $- \frac{(2 (a + 3)) (a + 4)}{7}$ .

$- \frac{2 (a + 3) (a + 4)}{7}$