Matemática discreta Ejemplos

$y = \sqrt{t^{2} - 2 t} - 3$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{t^{2} - 2 t}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$t^{2} - 2 t \geq 0$

Paso 2

Resuelve $t$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$t^{2} - 2 t = 0$

Paso 2.2

Factoriza $t$ de $t^{2} - 2 t$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$t \cdot t - 2 t = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $t$ de $- 2 t$ .

$t \cdot t + t \cdot - 2 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $t$ de $t \cdot t + t \cdot - 2$ .

$t (t - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t = 0$

$t - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $t$ igual a $0$ .

$t = 0$

Paso 2.5

Establece $t - 2$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 2.5.1

Establece $t - 2$ igual a $0$ .

$t - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $t (t - 2) = 0$ verdadera.

$t = 0, 2$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$t < 0$

$0 < t < 2$

$t > 2$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $t < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $t < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$t = - 2$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $t$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < t < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < t < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$t = 1$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $t$ con $1$ en la desigualdad original.

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $t > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $t > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$t = 4$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $t$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$t < 0$ Verdadero

$0 < t < 2$ Falso

$t > 2$ Verdadero

$t < 0$ Verdadero

$0 < t < 2$ Falso

$t > 2$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$t \leq 0$ o $t \geq 2$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $t$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0] \cup [2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${t | t \leq 0, t \geq 2}$

Paso 4