Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{7 x + 1} = 1 + \sqrt{5 x}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{7 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 x + 1}$ como ${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(7 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$7 x + 1 = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ .

$7 x + 1 = (1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{5 x}) + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$7 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $\sqrt{5 x}$ por $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{5 x}$ por $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{5 x}$ a la potencia de $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} \sqrt{5 x}$

Paso 2.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{5 x}$ a la potencia de $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} {\sqrt{5 x}}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{5 x}}^{2}$ como $5 x$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + 5 x$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $\sqrt{5 x}$ y $\sqrt{5 x}$ .

$7 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x$

Paso 3

Resuelve $2 \sqrt{5 x}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$ .

$1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{5 x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1 - 1$

Paso 3.2.2

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 1 - 1 - 5 x$

Paso 3.2.3

Combina los términos opuestos en $7 x + 1 - 1 - 5 x$ .

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Paso 3.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 0 - 5 x$

Paso 3.2.3.2

Suma $7 x$ y $0$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x - 5 x$

Paso 3.2.4

Resta $5 x$ de $7 x$ .

$2 \sqrt{5 x} = 2 x$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x$ .

${(2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Evalúa el exponente.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.7.2.1

Cancela el factor común.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.7.2.2

Reescribe la expresión.

$20 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.8

Simplifica.

$20 x = {(2 x)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(2 x)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$20 x = 2^{2} x^{2}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$20 x = 4 x^{2}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$20 x - 4 x^{2} = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $4 u$ de $20 u - 4 u^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $4 u$ de $20 u$ .

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Paso 6.2.2.2

Factoriza $4 u$ de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Paso 6.2.2.3

Factoriza $4 u$ de $4 u (5) + 4 u (- u)$ .

$4 u (5 - u) = 0$

Paso 6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$4 x (5 - x) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 - x = 0$

Paso 6.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5

Establece $5 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $5 - x$ igual a $0$ .

$5 - x = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $5 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 5$

Paso 6.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 5$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.3.1

Divide $- 5$ por $- 1$ .

$x = 5$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (5 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5$

Paso 7