Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{2 x + 169} - \sqrt{x + 1} = 12$

Paso 1

Suma $\sqrt{x + 1}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x + 169} = 12 + \sqrt{x + 1}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x + 169}}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 169}$ como ${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x + 169)}^{1} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$2 x + 169 = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ como $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ .

$2 x + 169 = (12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 169 = 12 (12 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $12$ por $12$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $12$ a la izquierda de $\sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \cdot \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x + 1$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $144$ y $1$ .

$2 x + 169 = 145 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $12 \sqrt{x + 1}$ y $12 \sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 169 = 145 + 24 \sqrt{x + 1} + x$

Paso 4

Resuelve $24 \sqrt{x + 1}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$ .

$145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $24 \sqrt{x + 1}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $145$ de ambos lados de la ecuación.

$24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169 - 145$

Paso 4.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$24 \sqrt{x + 1} = 2 x + 169 - 145 - x$

Paso 4.2.3

Resta $x$ de $2 x$ .

$24 \sqrt{x + 1} = x + 169 - 145$

Paso 4.2.4

Resta $145$ de $169$ .

$24 \sqrt{x + 1} = x + 24$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(24 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$24^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$576 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$576 {(x + 1)}^{1} = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$576 (x + 1) = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$576 x + 576 \cdot 1 = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $576$ por $1$ .

$576 x + 576 = {(x + 24)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(x + 24)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(x + 24)}^{2}$ como $(x + 24) (x + 24)$ .

$576 x + 576 = (x + 24) (x + 24)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(x + 24) (x + 24)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$576 x + 576 = x (x + 24) + 24 (x + 24)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 (x + 24)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

Paso 6.3.1.3.1.2

Mueve $24$ a la izquierda de $x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 24 \cdot x + 24 x + 24 \cdot 24$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $24$ por $24$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 24 x + 24 x + 576$

Paso 6.3.1.3.2

Suma $24 x$ y $24 x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 48 x + 576$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 48 x + 576 = 576 x + 576$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $576 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 48 x + 576 - 576 x = 576$

Paso 7.2.2

Resta $576 x$ de $48 x$ .

$x^{2} - 528 x + 576 = 576$

Paso 7.3

Resta $576$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 528 x + 576 - 576 = 0$

Paso 7.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 528 x + 576 - 576$ .

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Paso 7.4.1

Resta $576$ de $576$ .

$x^{2} - 528 x + 0 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $x^{2} - 528 x$ y $0$ .

$x^{2} - 528 x = 0$

Paso 7.5

Factoriza $x$ de $x^{2} - 528 x$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 528 x = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza $x$ de $- 528 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 528 = 0$

Paso 7.5.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 528$ .

$x (x - 528) = 0$

Paso 7.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 528 = 0$

Paso 7.7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 7.8

Establece $x - 528$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.8.1

Establece $x - 528$ igual a $0$ .

$x - 528 = 0$

Paso 7.8.2

Suma $528$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 528$

Paso 7.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 528) = 0$ verdadera.

$x = 0, 528$

Paso 8