Matemática discreta Ejemplos

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

{(1 + 4 x)}^{2}, 4

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número

1

$1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

4

$4$ tiene factores de

2

$2$ y

2

$2$ .

2 \cdot 2

$2 \cdot 2$

Paso 2.5

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

4

$4$

Paso 2.6

Los factores para

1 + 4 x

$1 + 4 x$ son

(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ , que es

1 + 4 x

$1 + 4 x$ multiplicado por sí mismo

2

$2$ veces.

(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

(1 + 4 x)

$(1 + 4 x)$ ocurre

2

$2$ veces.

Paso 2.7

El MCM de

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$

Paso 2.8

El mínimo común múltiplo

LCM

$LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término en

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ por

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ por

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ al numerador.

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Paso 3.2.1.2

Factoriza

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ de

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Paso 3.2.1.4

Reescribe la expresión.

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Paso 3.2.2

Multiplica

$4$ por

$- 1$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de

$4$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza

$4$ de

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica

$5 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe

${(1 + 4 x)}^{2}$ como

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ .

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

Paso 4.1.2

Expande

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Paso 4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Paso 4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Paso 4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1.1

Multiplica

$1$ por

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Paso 4.1.3.1.2

Multiplica

$4 x$ por

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Paso 4.1.3.1.3

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

Paso 4.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

Paso 4.1.3.1.5

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.1.5.1

Mueve

$x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

Paso 4.1.3.1.5.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

Paso 4.1.3.1.6

Multiplica

$4$ por

$4$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

Paso 4.1.3.2

Suma

$4 x$ y

$4 x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

Paso 4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Multiplica

$5$ por

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Paso 4.1.5.2

Multiplica

$8$ por

$5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

Paso 4.1.5.3

Multiplica

$16$ por

$5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

Paso 4.2

Como

$x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que contengan

$x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma

$4 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

Paso 4.3.2

Suma

$80 x^{2}$ y

$4 x^{2}$ .

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

Paso 4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5

Sustituye los valores

$a = 84$ ,

$b = 40$ y

$c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6

Simplifica.

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Paso 4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1.1

Eleva

$40$ a la potencia de

$2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 84 \cdot 5$ .

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Paso 4.6.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$84$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.2.2

Multiplica

$- 336$ por

$5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.3

Resta

$1680$ de

$1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.4

Reescribe

$- 80$ como

$- 1 (80)$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (80)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.7

Reescribe

$80$ como

$4^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.6.1.7.1

Factoriza

$16$ de

$80$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.7.2

Reescribe

$16$ como

$4^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.1.9

Mueve

$4$ a la izquierda de

$i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

Paso 4.6.2

Multiplica

$2$ por

$84$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

Paso 4.6.3

Simplifica

$\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Paso 4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Paso 5