Matemática discreta Ejemplos

${(2 m + 10)}^{2} + {(3 m)}^{2} = {(5 m)}^{2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la regla del producto a $3 m$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 3^{2} m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Paso 1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Paso 2

Simplifica ${(5 m)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $5 m$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = 5^{2} m^{2}$

Paso 2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = 25 m^{2}$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $m$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $25 m^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${(2 m + 10)}^{2}$ como $(2 m + 10) (2 m + 10)$ .

$(2 m + 10) (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Expande $(2 m + 10) (2 m + 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 m (2 m + 10) + 10 (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $m$ por $m$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Mueve $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.3.1.2.2

Multiplica $m$ por $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 m^{2} + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.3.1.4

Multiplica $10$ por $2$ .

$4 m^{2} + 20 m + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.3.1.5

Multiplica $2$ por $10$ .

$4 m^{2} + 20 m + 20 m + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.3.1.6

Multiplica $10$ por $10$ .

$4 m^{2} + 20 m + 20 m + 100 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.2.3.2

Suma $20 m$ y $20 m$ .

$4 m^{2} + 40 m + 100 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.3

Suma $4 m^{2}$ y $9 m^{2}$ .

$13 m^{2} + 40 m + 100 - 25 m^{2} = 0$

Paso 3.4

Resta $25 m^{2}$ de $13 m^{2}$ .

$- 12 m^{2} + 40 m + 100 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $- 4$ de $- 12 m^{2} + 40 m + 100$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 12 m^{2}$ .

$- 4 (3 m^{2}) + 40 m + 100 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 4$ de $40 m$ .

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m) + 100 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 4$ de $100$ .

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m) - 4 \cdot - 25 = 0$

Paso 4.1.4

Factoriza $- 4$ de $- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m)$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m) - 4 \cdot - 25 = 0$

Paso 4.1.5

Factoriza $- 4$ de $- 4 (3 m^{2} - 10 m) - 4 (- 25)$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m - 25) = 0$

Paso 4.2

Factoriza.

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Paso 4.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 m$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m - 25) = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe $- 10$ como $5$ más $- 15$

$- 4 (3 m^{2} + (5 - 15) m - 25) = 0$

Paso 4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (3 m^{2} + 5 m - 15 m - 25) = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 4 ((3 m^{2} + 5 m) - 15 m - 25) = 0$

Paso 4.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 4 (m (3 m + 5) - 5 (3 m + 5)) = 0$

Paso 4.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 m + 5$ .

$- 4 ((3 m + 5) (m - 5)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 (3 m + 5) (m - 5) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 m + 5 = 0$

$m - 5 = 0$

Paso 6

Establece $3 m + 5$ igual a $0$ y resuelve $m$ .

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Paso 6.1

Establece $3 m + 5$ igual a $0$ .

$3 m + 5 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $3 m + 5 = 0$ en $m$ .

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Paso 6.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$3 m = - 5$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $3 m = - 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $3 m = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $m$ por $1$ .

$m = \frac{- 5}{3}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$m = - \frac{5}{3}$

Paso 7

Establece $m - 5$ igual a $0$ y resuelve $m$ .

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Paso 7.1

Establece $m - 5$ igual a $0$ .

$m - 5 = 0$

Paso 7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$m = 5$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 (3 m + 5) (m - 5) = 0$ verdadera.

$m = - \frac{5}{3}, 5$

Paso 9