Matemática discreta Ejemplos

$x = - 2 (x^{2} - 10 x)$

Paso 1

Simplifica la ecuación en una forma adecuada para completar el cuadrado.

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Paso 1.1

Simplifica $- 2 (x^{2} - 10 x)$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)$

Paso 1.1.2

Multiplica $- 10$ por $- 2$ .

$x = - 2 x^{2} + 20 x$

Paso 1.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 2 x^{2} + 20 x = x$

Paso 1.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} + 20 x - x = 0$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $20 x$ .

$- 2 x^{2} + 19 x = 0$

Paso 2

Divide cada término en $- 2 x^{2} + 19 x = 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} + 19 x = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 2.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide $0$ por $- 2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} = 0$

Paso 3

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Paso 4

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- \frac{19}{4})}^{2} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Paso 5

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{19}{4}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{19}{4})}^{2} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + 1 \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.3

Multiplica $\frac{19^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.4

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{19}{4}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{19}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- 1)}^{2} \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + 1 \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica $\frac{19^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.4

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{361}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{361}{16}$

Paso 5.2.1.2

Suma $0$ y $\frac{361}{16}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = \frac{361}{16}$

Paso 6

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(x - \frac{19}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{19}{4})}^{2} = \frac{361}{16}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{19}{4} = \pm \sqrt{\frac{361}{16}}$

Paso 7.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{361}{16}}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{361}{16}}$ como $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{16}}$ .

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{\sqrt{361}}{\sqrt{16}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $361$ como $19^{2}$ .

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{16}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{\sqrt{16}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 7.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{4}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - \frac{19}{4} = \frac{19}{4}$

Paso 7.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Suma $\frac{19}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{19}{4} + \frac{19}{4}$

Paso 7.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{19 + 19}{4}$

Paso 7.3.2.3

Suma $19$ y $19$ .

$x = \frac{38}{4}$

Paso 7.3.2.4

Cancela el factor común de $38$ y $4$ .

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Paso 7.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $38$ .

$x = \frac{2 (19)}{4}$

Paso 7.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 19}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 19}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{19}{2}$

Paso 7.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - \frac{19}{4} = - \frac{19}{4}$

Paso 7.3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.4.1

Suma $\frac{19}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{19}{4} + \frac{19}{4}$

Paso 7.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 19 + 19}{4}$

Paso 7.3.4.3

Suma $- 19$ y $19$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 7.3.4.4

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 7.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{19}{2}, 0$