Matemática discreta Ejemplos

$5 x^{2} - 2 x + 13 = 18 x + 1$

Paso 1

Simplifica la ecuación en una forma adecuada para completar el cuadrado.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} - 2 x = 18 x + 1 - 13$

Paso 1.1.2

Resta $13$ de $1$ .

$5 x^{2} - 2 x = 18 x - 12$

Paso 1.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Resta $18 x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} - 2 x - 18 x = - 12$

Paso 1.2.2

Resta $18 x$ de $- 2 x$ .

$5 x^{2} - 20 x = - 12$

Paso 2

Divide cada término en $5 x^{2} - 20 x = - 12$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $5 x^{2} - 20 x = - 12$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $- 20$ y $5$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 20 x$ .

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5} = \frac{- 12}{5}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1)} = \frac{- 12}{5}$

Paso 2.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5 \cdot 1} = \frac{- 12}{5}$

Paso 2.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{- 4 x}{1} = \frac{- 12}{5}$

Paso 2.2.1.2.2.4

Divide $- 4 x$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{- 12}{5}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - 4 x = - \frac{12}{5}$

Paso 3

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 4

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$x^{2} - 4 x + {(- 2)}^{2} = - \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$

Paso 5

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + 4$

Paso 5.2.1.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.2.1.3

Combina $4$ y $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Paso 5.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{- 12 + 4 \cdot 5}{5}$

Paso 5.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.5.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{- 12 + 20}{5}$

Paso 5.2.1.5.2

Suma $- 12$ y $20$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{8}{5}$

Paso 6

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{8}{5}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{8}{5}}$

Paso 7.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{8}{5}}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{8}{5}}$ como $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{5}}$

Paso 7.2.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{5}}$

Paso 7.2.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Paso 7.2.3

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 7.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 7.2.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 7.2.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 7.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 7.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 7.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 7.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 2}}{5}$

Paso 7.2.5.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Paso 7.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5} + 2$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5} + 2$

Forma decimal:

$x = 3.26491106 \dots, 0.73508893 \dots$