Matemática discreta Ejemplos

$3 x^{2} - 9 x - 50 = 0$

Paso 1

Suma $50$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 9 x = 50$

Paso 2

Divide cada término en $3 x^{2} - 9 x = 50$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $3 x^{2} - 9 x = 50$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $- 9$ y $3$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 9 x$ .

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3} = \frac{50}{3}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3 (1)} = \frac{50}{3}$

Paso 2.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3 \cdot 1} = \frac{50}{3}$

Paso 2.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} = \frac{50}{3}$

Paso 2.2.1.2.2.4

Divide $- 3 x$ por $1$ .

$x^{2} - 3 x = \frac{50}{3}$

Paso 3

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 4

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 5

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 3 x + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 5.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 5.2.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{9}{2^{2}}$

Paso 5.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{9}{4}$

Paso 5.2.1.2

Para escribir $\frac{50}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 5.2.1.3

Para escribir $\frac{9}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Multiplica $\frac{50}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.1.4.3

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 5.2.1.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

Paso 5.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

Paso 5.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.6.1

Multiplica $50$ por $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{200 + 9 \cdot 3}{12}$

Paso 5.2.1.6.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{200 + 27}{12}$

Paso 5.2.1.6.3

Suma $200$ y $27$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{227}{12}$

Paso 6

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{227}{12}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{227}{12}}$

Paso 7.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{227}{12}}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{227}{12}}$ como $\frac{\sqrt{227}}{\sqrt{12}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{12}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{4 (3)}}$

Paso 7.2.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Paso 7.2.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 7.2.3

Multiplica $\frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.2.4.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 7.2.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Paso 7.2.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Paso 7.2.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.2.4.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.2.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Paso 7.2.4.7.5

Evalúa el exponente.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.5.2

Multiplica $227$ por $3$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{681}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{681}}{6}$

Paso 7.3

Suma $\frac{3}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \pm \frac{\sqrt{681}}{6} + \frac{3}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \pm \frac{\sqrt{681}}{6} + \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$x = 5.84932945 \dots, - 2.84932945 \dots$