Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Paso 1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 7 x = 15$

Paso 2

Divide cada término en $2 x^{2} + 7 x = 15$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 x^{2} + 7 x = 15$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Paso 3

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{7}{4})}^{2}$

Paso 4

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Paso 5

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{4}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{4^{2}} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Paso 5.1.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{4}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{49}{4^{2}}$

Paso 5.2.1.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{49}{16}$

Paso 5.2.1.2

Para escribir $\frac{15}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

Paso 5.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $\frac{15}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

Paso 5.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8 + 49}{16}$

Paso 5.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.5.1

Multiplica $15$ por $8$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{120 + 49}{16}$

Paso 5.2.1.5.2

Suma $120$ y $49$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{169}{16}$

Paso 6

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(x + \frac{7}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{7}{4})}^{2} = \frac{169}{16}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{7}{4} = \pm \sqrt{\frac{169}{16}}$

Paso 7.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{169}{16}}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{169}{16}}$ como $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$ .

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{13^{2}}}{\sqrt{16}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{\sqrt{16}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 7.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{4}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x + \frac{7}{4} = \frac{13}{4}$

Paso 7.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Resta $\frac{7}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{13}{4} - \frac{7}{4}$

Paso 7.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{13 - 7}{4}$

Paso 7.3.2.3

Resta $7$ de $13$ .

$x = \frac{6}{4}$

Paso 7.3.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 7.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 (3)}{4}$

Paso 7.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 7.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x + \frac{7}{4} = - \frac{13}{4}$

Paso 7.3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.4.1

Resta $\frac{7}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{13}{4} - \frac{7}{4}$

Paso 7.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 13 - 7}{4}$

Paso 7.3.4.3

Resta $7$ de $- 13$ .

$x = \frac{- 20}{4}$

Paso 7.3.4.4

Divide $- 20$ por $4$ .

$x = - 5$

Paso 7.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{3}{2}, - 5$