Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + {(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1$

Paso 1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1 - x^{2}$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 3

Simplifica $\pm \sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4.2

Suma $\sqrt[3]{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4.4

Suma $\sqrt[3]{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 5

Establece el radicando en $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Paso 6.2

Establece $1 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.2.1

Establece $1 + x$ igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6.3

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 6.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 6.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 6.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 6.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 6.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Paso 6.6.1.3

$- 15$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Paso 6.6.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Paso 6.6.3.3

$- 15$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 6.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 \leq x \leq 1$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 1, 1]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Paso 8