Matemática discreta Ejemplos

{log}_{5} (3 x^{\frac{1}{2}})

$\log_{5} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.1

Aplica la regla

x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

{log}_{5} (3 \sqrt{x^{1}})

$\log_{5} (3 \sqrt{x^{1}})$

Paso 1.2

Cualquier número elevado a la potencia de

1

$1$ es la misma base.

{log}_{5} (3 \sqrt{x})

$\log_{5} (3 \sqrt{x})$

{log}_{5} (3 \sqrt{x})

$\log_{5} (3 \sqrt{x})$

Paso 2

Establece el argumento en

{log}_{5} (3 \sqrt{x})

$\log_{5} (3 \sqrt{x})$ mayor que

0

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

3 \sqrt{x} > 0

$3 \sqrt{x} > 0$

Paso 3

Resuelve

x

$x$

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Paso 3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

{(3 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}

${(3 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ como

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

{(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica

{(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a

3 x^{\frac{1}{2}}

$3 x^{\frac{1}{2}}$ .

3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{1} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.4

Simplifica.

$9 x > 0^{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$9 x > 0$

Paso 3.3

Divide cada término en

$9 x > 0$ por

$9$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en

$9 x > 0$ por

$9$ .

$\frac{9 x}{9} > \frac{0}{9}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de

$9$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} > \frac{0}{9}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x > \frac{0}{9}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide

$0$ por

$9$ .

$x > 0$

Paso 3.4

Obtén el dominio de

$3 \sqrt{x}$ .

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Paso 3.4.1

Establece el radicando en

$\sqrt{x}$ mayor o igual que

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 3.4.2

El dominio son todos los valores de

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 3.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > 0$

Paso 4

Establece el radicando en

$\sqrt{x}$ mayor o igual que

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 5

El dominio son todos los valores de

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 6