Matemática discreta Ejemplos

$\log_{5} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\log_{5} (3 \sqrt{x^{1}})$

Paso 1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\log_{5} (3 \sqrt{x})$

Paso 2

Establece el argumento en $\log_{5} (3 \sqrt{x})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 \sqrt{x} > 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(3 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{1} > 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.4

Simplifica.

$9 x > 0^{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$9 x > 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $9 x > 0$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $9 x > 0$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} > \frac{0}{9}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} > \frac{0}{9}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{0}{9}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $9$ .

$x > 0$

Paso 3.4

Obtén el dominio de $3 \sqrt{x}$ .

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Paso 3.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 3.4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 3.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > 0$

Paso 4

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 6