Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

Paso 2

Resuelve $A$

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Paso 2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Paso 2.2

Establece $\sin (2 A)$ igual a $0$ y resuelve $A$ .

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Paso 2.2.1

Establece $\sin (2 A)$ igual a $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

Paso 2.2.2

Resuelve $\sin (2 A) = 0$ en $A$ .

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Paso 2.2.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$2 A = \arcsin (0)$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$2 A = 0$

Paso 2.2.2.3

Divide cada término en $2 A = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.3.1

Divide cada término en $2 A = 0$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$A = 0$

Paso 2.2.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 A = 180 - 0$

Paso 2.2.2.5

Resuelve $A$

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Paso 2.2.2.5.1

Simplifica.

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Paso 2.2.2.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 A = 180 + 0$

Paso 2.2.2.5.1.2

Suma $180$ y $0$ .

$2 A = 180$

Paso 2.2.2.5.2

Divide cada término en $2 A = 180$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.5.2.1

Divide cada término en $2 A = 180$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Paso 2.2.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Paso 2.2.2.5.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{180}{2}$

Paso 2.2.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.5.2.3.1

Divide $180$ por $2$ .

$A = 90$

Paso 2.2.2.6

Obtén el período de $\sin (2 A)$ .

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Paso 2.2.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Paso 2.2.2.6.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 2 |}$

Paso 2.2.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{360}{2}$

Paso 2.2.2.6.4

Divide $360$ por $2$ .

$180$

Paso 2.2.2.7

El período de la función $\sin (2 A)$ es $180$ , por lo que los valores se repetirán cada $180$ grados en ambas direcciones.

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.3

Establece $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ igual a $0$ y resuelve $A$ .

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Paso 2.3.1

Establece $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ igual a $0$ .

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ en $A$ .

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Paso 2.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Paso 2.3.2.1.1.2

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Paso 2.3.2.3

Divide cada término en $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.3.1

Divide cada término en $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.3.2.3.2.1.2

Divide $\sin^{2} (A)$ por $1$ .

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.2.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.2.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.2.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.2.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.2.5.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.2.5.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.3.2.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.2.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.2.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.2.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.2.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.3.2.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.2.7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $A$ .

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.2.8

Resuelve $A$ en $\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 2.3.2.8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 2.3.2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.8.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $45$ .

$A = 45$

Paso 2.3.2.8.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 45$

Paso 2.3.2.8.4

Resta $45$ de $180$ .

$A = 135$

Paso 2.3.2.8.5

Obtén el período de $\sin (A)$ .

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Paso 2.3.2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Paso 2.3.2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Paso 2.3.2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Paso 2.3.2.8.5.4

Divide $360$ por $1$ .

$360$

Paso 2.3.2.8.6

El período de la función $\sin (A)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.3.2.9

Resuelve $A$ en $\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 2.3.2.9.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 2.3.2.9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.9.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- 45$ .

$A = - 45$

Paso 2.3.2.9.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $360$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $180$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$A = 360 + 45 + 180$

Paso 2.3.2.9.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.3.2.9.4.1

Resta $360 °$ de $360 + 45 + 180 °$ .

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Paso 2.3.2.9.4.2

El ángulo resultante de $225 °$ es positivo, menor que $360 °$ y coterminal con $360 + 45 + 180$ .

$A = 225 °$

Paso 2.3.2.9.5

Obtén el período de $\sin (A)$ .

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Paso 2.3.2.9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Paso 2.3.2.9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Paso 2.3.2.9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Paso 2.3.2.9.5.4

Divide $360$ por $1$ .

$360$

Paso 2.3.2.9.6

Suma $360$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.3.2.9.6.1

Suma $360$ y $- 45$ para obtener el ángulo positivo.

$- 45 + 360$

Paso 2.3.2.9.6.2

Resta $45$ de $360$ .

$315$

Paso 2.3.2.9.6.3

Enumera los nuevos ángulos.

$A = 315$

Paso 2.3.2.9.7

El período de la función $\sin (A)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.3.2.10

Enumera todas las soluciones.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.3.2.11

Consolida las respuestas.

$A = 45 + 90 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ verdadera.

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

Consolida las respuestas.

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Paso 2.5.1

Consolida $180 n$ y $90 + 180 n$ en $90 n$ .

$A = 90 n, 45 + 90 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5.2

Consolida las respuestas.

$A = 45 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $A$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${A | A \neq 45 n}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4