Matemática discreta Ejemplos

$\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$z^{3} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Paso 2

Resuelve $z$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $z$ de $z^{3} + 3 z^{2} - 54 z$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $z$ de $z^{3}$ .

$z \cdot z^{2} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $z$ de $3 z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} + z (3 z) - 54 z = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $z$ de $- 54 z$ .

$z \cdot z^{2} + z (3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Paso 2.1.1.4

Factoriza $z$ de $z \cdot z^{2} + z (3 z)$ .

$z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Paso 2.1.1.5

Factoriza $z$ de $z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54$ .

$z (z^{2} + 3 z - 54) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $z^{2} + 3 z - 54$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 54$ y cuya suma es $3$ .

$- 6, 9$

Paso 2.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$z ((z - 6) (z + 9)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$z (z - 6) (z + 9) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z = 0$

$z - 6 = 0$

$z + 9 = 0$

Paso 2.3

Establece $z$ igual a $0$ .

$z = 0$

Paso 2.4

Establece $z - 6$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 2.4.1

Establece $z - 6$ igual a $0$ .

$z - 6 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 6$

Paso 2.5

Establece $z + 9$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 2.5.1

Establece $z + 9$ igual a $0$ .

$z + 9 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 9$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $z (z - 6) (z + 9) = 0$ verdadera.

$z = 0, 6, - 9$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $z$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${z | z \neq 0, 6, - 9}$

Paso 4