Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x} = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $\sqrt[9]{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \sqrt[3]{x} = - \sqrt[9]{x}$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Paso 2.3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Paso 2.3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Paso 2.3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica.

$27 x = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica ${(- \sqrt[9]{x})}^{3}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt[9]{x}$ .

$27 x = {(- 1)}^{3} {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Paso 2.3.3.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$27 x = - {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Paso 2.3.3.1.2

Reescribe ${\sqrt[9]{x}}^{3}$ como $\sqrt[3]{x}$ .

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Paso 2.3.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[9]{x}$ como $x^{\frac{1}{9}}$ .

$27 x = - {(x^{\frac{1}{9}})}^{3}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x = - x^{\frac{1}{9} \cdot 3}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{9}$ y $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3}{9}}$

Paso 2.3.3.1.2.4

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 2.3.3.1.2.4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3 (1)}{9}}$

Paso 2.3.3.1.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Paso 2.3.3.1.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Paso 2.3.3.1.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$27 x = - x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.3.1.2.5

Reescribe $x^{\frac{1}{3}}$ como $\sqrt[3]{x}$ .

$27 x = - \sqrt[3]{x}$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación como $- \sqrt[3]{x} = 27 x$ .

$- \sqrt[3]{x} = 27 x$

Paso 2.5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt[3]{x})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Paso 2.6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica ${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Paso 2.6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Paso 2.6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Paso 2.6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Paso 2.6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- x^{1} = {(27 x)}^{3}$

Paso 2.6.2.1.4

Simplifica.

$- x = {(27 x)}^{3}$

Paso 2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.1

Simplifica ${(27 x)}^{3}$ .

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Paso 2.6.3.1.1

Aplica la regla del producto a $27 x$ .

$- x = 27^{3} x^{3}$

Paso 2.6.3.1.2

Eleva $27$ a la potencia de $3$ .

$- x = 19683 x^{3}$

Paso 2.7

Resuelve $x$

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Paso 2.7.1

Resta $19683 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x - 19683 x^{3} = 0$

Paso 2.7.2

Factoriza $- x$ de $- x - 19683 x^{3}$ .

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Paso 2.7.2.1

Reordena $- x$ y $- 19683 x^{3}$ .

$- 19683 x^{3} - x = 0$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $- x$ de $- 19683 x^{3}$ .

$- x (19683 x^{2}) - x = 0$

Paso 2.7.2.3

Factoriza $- x$ de $- x$ .

$- x (19683 x^{2}) - x \cdot 1 = 0$

Paso 2.7.2.4

Factoriza $- x$ de $- x (19683 x^{2}) - x (1)$ .

$- x (19683 x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.7.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.7.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.7.5

Establece $19683 x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.7.5.1

Establece $19683 x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.7.5.2

Resuelve $19683 x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.7.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$19683 x^{2} = - 1$

Paso 2.7.5.2.2

Divide cada término en $19683 x^{2} = - 1$ por $19683$ y simplifica.

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Paso 2.7.5.2.2.1

Divide cada término en $19683 x^{2} = - 1$ por $19683$ .

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Paso 2.7.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $19683$ .

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Paso 2.7.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Paso 2.7.5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{19683}$

Paso 2.7.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{1}{19683}$

Paso 2.7.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$

Paso 2.7.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$ .

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Paso 2.7.5.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{19683}$ como ${(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}$ .

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Paso 2.7.5.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{19683}}$

Paso 2.7.5.2.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $1$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{19683}}$

Paso 2.7.5.2.4.1.3

Factoriza la potencia perfecta $81^{2}$ de $19683$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}}$

Paso 2.7.5.2.4.1.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{81})}^{2} \frac{1}{3})}$

Paso 2.7.5.2.4.1.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{81})}^{2}$ como ${(\frac{i}{81})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}}$

Paso 2.7.5.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{i}{81} \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 2.7.5.2.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.7.5.2.4.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.7.5.2.4.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 2.7.5.2.4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.7.5.2.4.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.7.5.2.4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.5.2.4.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.7.5.2.4.6.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.7.5.2.4.7

Multiplica $\frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 2.7.5.2.4.7.1

Multiplica $\frac{i}{81}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{81 \cdot 3}$

Paso 2.7.5.2.4.7.2

Multiplica $81$ por $3$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Paso 2.7.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.7.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Paso 2.7.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Paso 2.7.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Paso 2.7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x (19683 x^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 4