Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$

Paso 1

Establece el argumento en $\log_{8} (x^{2})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{0}$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > \sqrt{0}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica $\sqrt{0}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$| x | > \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > | 0 |$

Paso 2.2.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$| x | > 0$

Paso 2.3

Escribe $| x | > 0$ como una función definida por partes.

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Paso 2.3.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 2.3.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x > 0$

Paso 2.3.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 2.3.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x > 0$

Paso 2.3.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x > 0 & x \geq 0 \\ - x > 0 & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.4

Obtén la intersección de $x > 0$ y $x \geq 0$ .

$x > 0$

Paso 2.5

Divide cada término en $- x > 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término de $- x > 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{0}{- 1}$

Paso 2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{0}{- 1}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$x < 0$

Paso 2.6

Obtén la unión de las soluciones.

$x < 0$ o $x > 0$

Paso 3

Establece el argumento en $\log_{2} (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\log_{2} (x) = 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Reescribe $\log_{2} (x) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = x$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Reescribe la ecuación como $x = 2^{0}$ .

$x = 2^{0}$

Paso 5.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x = 1$

Paso 6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Paso 7