Matemática discreta Ejemplos

${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

Paso 1

Resta ${(x - 3)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(y - 6)}^{2} = 9 - {(x - 3)}^{2}$

Paso 2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y - 6 = \pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica $\pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x - 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta $3$ de $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Paso 3.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Paso 3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Paso 3.3.5

Suma $3$ y $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (- x + 6)}$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - 6 = \sqrt{x (- x + 6)}$

Paso 4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Paso 4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - 6 = - \sqrt{x (- x + 6)}$

Paso 4.4

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Paso 5

Establece el radicando en $\sqrt{x (- x + 6)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x (- x + 6) \geq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$- x + 6 = 0$

Paso 6.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3

Establece $- x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.1

Establece $- x + 6$ igual a $0$ .

$- x + 6 = 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $- x + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 6$

Paso 6.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$x = 6$

Paso 6.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (- x + 6) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, 6$

Paso 6.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Paso 6.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Paso 6.6.1.3

$- 16$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 6.6.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Paso 6.6.2.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 6.6.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Paso 6.6.3.3

$- 16$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 6.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 6$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, 6]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | 0 \leq x \leq 6}$

Paso 8