Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{3} + \sqrt{3 x - 8}}{5 - \sqrt[7]{x + 2}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{3 x - 8}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 x - 8 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Suma $8$ a ambos lados de la desigualdad.

$3 x \geq 8$

Paso 2.2

Divide cada término en $3 x \geq 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $3 x \geq 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{8}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{8}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{8}{3}$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x^{3} + \sqrt{3 x - 8}}{5 - \sqrt[7]{x + 2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 - \sqrt[7]{x + 2} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sqrt[7]{x + 2} = - 5$

Paso 4.2

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $7$ ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt[7]{x + 2})}^{7} = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

${(- 1)}^{7} {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$- {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$- {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- {(x + 2)}^{1} = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.2.1.4

Simplifica.

$- (x + 2) = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- x - 1 \cdot 2 = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- x - 2 = {(- 5)}^{7}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $7$ .

$- x - 2 = - 78125$

Paso 4.4

Resuelve $x$

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Paso 4.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = - 78125 + 2$

Paso 4.4.1.2

Suma $- 78125$ y $2$ .

$- x = - 78123$

Paso 4.4.2

Divide cada término en $- x = - 78123$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Divide cada término en $- x = - 78123$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 78123}{- 1}$

Paso 4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 78123}{- 1}$

Paso 4.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 78123}{- 1}$

Paso 4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.3.1

Divide $- 78123$ por $- 1$ .

$x = 78123$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[\frac{8}{3}, 78123) \cup (78123, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq \frac{8}{3}, x \neq 78123}$

Paso 6