Matemática discreta Ejemplos

$\ln (\frac{5 + x}{3 - x})$

Paso 1

Establece el argumento en $\ln (\frac{5 + x}{3 - x})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{5 + x}{3 - x} > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$5 + x = 0$

$3 - x = 0$

Paso 2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 3$

Paso 2.4

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 2.5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 5$

$x = 3$

Paso 2.6

Consolida las soluciones.

$x = - 5, 3$

Paso 2.7

Obtén el dominio de $\frac{5 + x}{3 - x}$ .

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Paso 2.7.1

Establece el denominador en $\frac{5 + x}{3 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 - x = 0$

Paso 2.7.2

Resuelve $x$

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Paso 2.7.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 3$

Paso 2.7.2.2

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.7.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 2.7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{5 - 8}{3 - (- 8)} > 0$

Paso 2.9.1.3

$- 0.\overline{27}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{5 + 0}{3 - (0)} > 0$

Paso 2.9.2.3

$1.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{5 + 6}{3 - (6)} > 0$

Paso 2.9.3.3

$- 3.\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 < x < 3$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{5 + x}{3 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 - x = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 3$

Paso 4.2

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- 5, 3)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 5 < x < 3}$

Paso 6