Matemática discreta Ejemplos

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

Paso 1

Establece el argumento en $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Simplifica $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

Paso 2.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

Paso 2.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Paso 2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.3.1

Combina $- 1$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

Paso 2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.4.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

Paso 2.1.4.3

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

Paso 2.2

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Paso 2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.6.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.7.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.10

Consolida las soluciones.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.11

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

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Paso 2.11.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.11.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 2.12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 2.13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

Paso 2.13.1.3

$- 3.\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.13.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.13.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.31$

Paso 2.13.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.31$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

Paso 2.13.2.3

$1.91580645$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.13.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.13.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 2.13.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

Paso 2.13.3.3

$- 1$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.13.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.13.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.13.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

Paso 2.13.4.3

$2.75$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.13.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Falso

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Verdadero

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Falso

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Verdadero

Paso 2.14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ o $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Paso 5