Matemática discreta Ejemplos

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $p$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $4$ de $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 p^{3}$ .

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $4$ de $16 p^{2}$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $4$ de $28 p$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $4$ de $- 48$ .

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Paso 2.2.1.6

Factoriza $4$ de $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Paso 2.2.1.7

Factoriza $4$ de $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 2.2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 2.2.2.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Paso 2.2.2.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Paso 2.2.2.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

Paso 2.2.2.1.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

Paso 2.2.2.1.3.5

Suma $1$ y $4$ .

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

Paso 2.2.2.1.3.6

Multiplica $7$ por $1$ .

$5 + 7 - 12$

Paso 2.2.2.1.3.7

Suma $5$ y $7$ .

$12 - 12$

Paso 2.2.2.1.3.8

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 2.2.2.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $p - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

Paso 2.2.2.1.5

Divide $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ por $p - 1$ .

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Paso 2.2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

Paso 2.2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $p^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $p$ .

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

Paso 2.2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $p^{3} - p^{2}$ .

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Paso 2.2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 p^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Paso 2.2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

Paso 2.2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 p^{2} - 5 p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

Paso 2.2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

Paso 2.2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Paso 2.2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 p$ por el término de mayor orden en el divisor $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Paso 2.2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

Paso 2.2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 p - 12$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

Paso 2.2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

Paso 2.2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$p^{2} + 5 p + 12$

Paso 2.2.2.1.6

Escribe $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ como un conjunto de factores.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Paso 2.4

Establece $p - 1$ igual a $0$ y resuelve $p$ .

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Paso 2.4.1

Establece $p - 1$ igual a $0$ .

$p - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$p = 1$

Paso 2.5

Establece $p^{2} + 5 p + 12$ igual a $0$ y resuelve $p$ .

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Paso 2.5.1

Establece $p^{2} + 5 p + 12$ igual a $0$ .

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ en $p$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = 12$ en la fórmula cuadrática y resuelve $p$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Paso 2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Resta $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.4.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Paso 2.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Paso 2.5.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Paso 2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.3

Resta $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.5.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Paso 2.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Paso 2.5.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ verdadera.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.7

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 2.7.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$4 p^{3}$

Paso 2.7.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$4$

Paso 2.8

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba y $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ siempre es mayor que $0$ .

Todos los números reales

Paso 3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${p | p \in ℝ}$

Paso 4