Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt[3]{\frac{125^{n} \cdot 5^{4 n}}{25^{- n}}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(5^{3})}^{n} \cdot 5^{4 n}}{25^{- n}}}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{\frac{5^{3 n} \cdot 5^{4 n}}{25^{- n}}}$

Paso 1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt[3]{\frac{5^{3 n + 4 n}}{25^{- n}}}$

Paso 1.4

Suma $3 n$ y $4 n$ .

$\sqrt[3]{\frac{5^{7 n}}{25^{- n}}}$

Paso 2

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{5^{7 n}}{25^{- n}}}$ como $\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{\sqrt[3]{25^{- n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $\sqrt[3]{25^{- n}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{1} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{1 + 2}}$

Paso 4.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{3}}$

Paso 4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{25^{- n}}}^{3}$ como $25^{- n}$ .

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Paso 4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{25^{- n}}$ como $25^{\frac{- n}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{(25^{\frac{- n}{3}})}^{3}}$

Paso 4.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{(25^{- \frac{n}{3}})}^{3}}$

Paso 4.5.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{- \frac{n}{3} \cdot 3}}$

Paso 4.5.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{- 3 \frac{n}{3}}}$

Paso 4.5.5

Combina $- 3$ y $\frac{n}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{- 3 n}{3}}}$

Paso 4.5.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 4.5.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 n$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{3 (- n)}{3}}}$

Paso 4.5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{3 (- n)}{3 (1)}}}$

Paso 4.5.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{3 (- n)}{3 \cdot 1}}}$

Paso 4.5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{- n}{1}}}$

Paso 4.5.6.2.4

Divide $- n$ por $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{- n}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(25^{- n})}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} \sqrt[3]{{(25^{- n})}^{2}}}{25^{- n}}$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(25^{- n})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} \sqrt[3]{25^{- n \cdot 2}}}{25^{- n}}$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} \sqrt[3]{25^{- 2 n}}}{25^{- n}}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n} \cdot 25^{- 2 n}}}{25^{- n}}$

Paso 6.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n} \cdot {(5^{2})}^{- 2 n}}}{25^{- n}}$

Paso 6.3

Multiplica los exponentes en ${(5^{2})}^{- 2 n}$ .

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Paso 6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n} \cdot 5^{2 (- 2 n)}}}{25^{- n}}$

Paso 6.3.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n} \cdot 5^{- 4 n}}}{25^{- n}}$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n - 4 n}}}{25^{- n}}$

Paso 6.5

Resta $4 n$ de $7 n$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{3 n}}}{25^{- n}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Reescribe $5^{3 n}$ como ${(5^{n})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(5^{n})}^{3}}}{25^{- n}}$

Paso 7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{5^{n}}{25^{- n}}$