Matemática discreta Ejemplos

$\frac{12 x^{2} + 2 x - 2}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $12 x^{2} + 2 x - 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 x - 2}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (x) - 2}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 2 (- 1)}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.1.4

Factoriza $2$ de $2 (6 x^{2}) + 2 (x)$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x) + 2 (- 1)}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.1.5

Factoriza $2$ de $2 (6 x^{2} + x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 1 = - 6$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 1.2.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + 1 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $1$ como $- 2$ más $3$

$\frac{2 (6 x^{2} + (- 2 + 3) x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (6 x^{2} - 2 x + 3 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((6 x^{2} - 2 x) + 3 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (2 x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1))}{27 x^{3} - 1}$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$\frac{2 ((3 x - 1) (2 x + 1))}{27 x^{3} - 1}$

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{27 x^{3} - 1}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $27 x^{3}$ como ${(3 x)}^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{{(3 x)}^{3} - 1}$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{{(3 x)}^{3} - 1^{3}}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 3 x$ y $b = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 2.4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 2.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2})}$

Paso 2.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $3 x - 1$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (2 x + 1)}{9 x^{2} + 3 x + 1}$