Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\frac{x^{2} - x - 6}{2 x^{2} - 7 x - 15}}{\frac{x^{2} + 6 x + 8}{2 x^{2} + 11 x + 12}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x^{2} - x - 6}{2 x^{2} - 7 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} - 7 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} - 7 (x) - 15} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 7$ como $3$ más $- 10$

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} + (3 - 10) x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x^{2} + 3 x) - 10 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x (2 x + 3) - 5 (2 x + 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 3$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 12 = 24$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $11$ de $11 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + 11 (x) + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 4.1.2

Reescribe $11$ como $3$ más $8$

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + (3 + 8) x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x + 8 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{(2 x^{2} + 3 x) + 8 x + 12}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{x (2 x + 3) + 4 (2 x + 3)}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 3$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 3) (x + 4)}{x^{2} + 6 x + 8}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $6$ .

$2, 4$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 3) (x + 4)}{(x + 2) (x + 4)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x + 2$ de $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 3) (x + 4)}{(x + 2) (x + 4)}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 3) (x + 4)}{(x + 2) (x + 4)}$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 3) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2 x + 3$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 3}{(2 x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 3) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{x - 3}{x - 5}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(x - 5) (x + 4)}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(x - 5) (x + 4)}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3}{x - 5}$