Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\frac{\frac{12 y^{2} - 7 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12}}{12 y^{2} - 25 y + 12}}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{12 y^{2} - 7 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12}}{12 y^{2} - 25 y + 12} \cdot \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{12 y^{2} - 7 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot - 12 = - 144$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 y$ .

$\frac{12 y^{2} - 7 (y) - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 7$ como $9$ más $- 16$

$\frac{12 y^{2} + (9 - 16) y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 y^{2} + 9 y - 16 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(12 y^{2} + 9 y) - 16 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 y (4 y + 3) - 4 (4 y + 3)}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 y + 3$ .

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot 12 = 144$ y cuya suma es $b = 25$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $25$ de $25 y$ .

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{12 y^{2} + 25 (y) + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 4.1.2

Reescribe $25$ como $9$ más $16$

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{12 y^{2} + (9 + 16) y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{12 y^{2} + 9 y + 16 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{(12 y^{2} + 9 y) + 16 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{3 y (4 y + 3) + 4 (4 y + 3)} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 y + 3$ .

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{(4 y + 3) (3 y + 4)} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 5

Cancela el factor común de $4 y + 3$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{(4 y + 3) (3 y + 4)} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot 12 = 144$ y cuya suma es $b = - 25$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $- 25$ de $- 25 y$ .

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 (y) + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 6.1.2

Reescribe $- 25$ como $- 9$ más $- 16$

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{12 y^{2} + (- 9 - 16) y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 9 y - 16 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{(12 y^{2} - 9 y) - 16 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{3 y (4 y - 3) - 4 (4 y - 3)} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 y - 3$ .

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{(4 y - 3) (3 y - 4)} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $3 y - 4$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $3 y - 4$ de $(4 y - 3) (3 y - 4)$ .

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{(3 y - 4) (4 y - 3)} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{(3 y - 4) (4 y - 3)} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 7.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{4 y - 3} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{3 y + 4}$ por $\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Paso 8

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 8.1

Reescribe $16 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{{(4 y)}^{2} - 24 y + 9}$

Paso 8.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{{(4 y)}^{2} - 24 y + 3^{2}}$

Paso 8.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$24 y = 2 \cdot (4 y) \cdot 3$

Paso 8.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{{(4 y)}^{2} - 2 \cdot (4 y) \cdot 3 + 3^{2}}$

Paso 8.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 4 y$ y $b = 3$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{{(4 y - 3)}^{2}}$

Paso 9

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) (4 y - 3) {(4 y - 3)}^{2}}$

Paso 10

Multiplica $4 y - 3$ por ${(4 y - 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1

Mueve ${(4 y - 3)}^{2}$ .

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) ({(4 y - 3)}^{2} (4 y - 3))}$

Paso 10.2

Multiplica ${(4 y - 3)}^{2}$ por $4 y - 3$ .

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Paso 10.2.1

Eleva $4 y - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) ({(4 y - 3)}^{2} {(4 y - 3)}^{1})}$

Paso 10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) {(4 y - 3)}^{2 + 1}}$

Paso 10.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) {(4 y - 3)}^{3}}$

Paso 11

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) {(4 y - 3)}^{3}}$