Matemática discreta Ejemplos

$\frac{7 i}{2 + 3 i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{7 i}{2 + 3 i}$ por el conjugado de $2 + 3 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{7 i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{7 i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 i \cdot 2 + 7 i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{14 i + 7 i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $7 i (- 3 i)$ .

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$\frac{14 i - 21 i i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{14 i - 21 (i^{1} i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.3.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{14 i - 21 (i^{1} i^{1})}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{14 i - 21 i^{1 + 1}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{14 i - 21 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{14 i - 21 \cdot - 1}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 21$ por $- 1$ .

$\frac{14 i + 21}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.2.5

Reordena $14 i$ y $21$ .

$\frac{21 + 14 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{21 + 14 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{21 + 14 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{21 + 14 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{21 + 14 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Suma $- 6 i$ y $6 i$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{21 + 14 i}{4 + 9}$

Paso 2.3.4

Suma $4$ y $9$ .

$\frac{21 + 14 i}{13}$

Paso 3

Divide la fracción $\frac{21 + 14 i}{13}$ en dos fracciones.

$\frac{21}{13} + \frac{14 i}{13}$