Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\sqrt{7} + 5 i}{\sqrt{5} + 2 i}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{7} + 5 i}{\sqrt{5} + 2 i}$ por $\frac{\sqrt{5} - 2 i}{\sqrt{5} - 2 i}$ .

$\frac{\sqrt{7} + 5 i}{\sqrt{5} + 2 i} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2 i}{\sqrt{5} - 2 i}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7} + 5 i}{\sqrt{5} + 2 i}$ por $\frac{\sqrt{5} - 2 i}{\sqrt{5} - 2 i}$ .

$\frac{(\sqrt{7} + 5 i) (\sqrt{5} - 2 i)}{(\sqrt{5} + 2 i) (\sqrt{5} - 2 i)}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{7} + 5 i) (\sqrt{5} - 2 i)}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{5} (- 2 i) + 2 i \sqrt{5} - 4 i^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{7} + 5 i) (\sqrt{5} - 2 i)}{9}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{7} + 5 i) (\sqrt{5} - 2 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} (\sqrt{5} - 2 i) + 5 i (\sqrt{5} - 2 i)}{9}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i (\sqrt{5} - 2 i)}{9}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} + 5 i (- 2 i)}{9}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 5} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} + 5 i (- 2 i)}{9}$

Paso 4.1.2

Multiplica $7$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} + 5 i (- 2 i)}{9}$

Paso 4.1.3

Multiplica $5 i (- 2 i)$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} - 10 i i}{9}$

Paso 4.1.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} - 10 (i^{1} i)}{9}$

Paso 4.1.3.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} - 10 (i^{1} i^{1})}{9}$

Paso 4.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} - 10 i^{1 + 1}}{9}$

Paso 4.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} - 10 i^{2}}{9}$

Paso 4.1.4

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} - 10 \cdot - 1}{9}$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5} + 10}{9}$

Paso 4.2

Reordena $\sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5}$ y $10$ .

$\frac{10 + \sqrt{35} + \sqrt{7} (- 2 i) + 5 i \sqrt{5}}{9}$