Matemática discreta Ejemplos

$\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$

Paso 1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$ por $\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ .

$\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$ por $\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 + 3 \sqrt{x} - 9}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9}$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9}$

Paso 2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{2}{2}} - 9}$

Paso 2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{2}{2}} - 9}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{1} - 9}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Paso 3

Expande $(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + 2 (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $3 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Paso 4.1.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{x}}^{2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{1} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica.

$\frac{3 x + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} - 6}{x - 9}$

Paso 4.2

Suma $- 9 \sqrt{x}$ y $2 \sqrt{x}$ .

$\frac{3 x - 7 \sqrt{x} - 6}{x - 9}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 6}{x - 9}$

Paso 5.2

Reescribe $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 6}{x - 9}$

Paso 5.3

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{2} - 7 u - 6}{x - 9}$

Paso 5.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 u$ .

$\frac{3 u^{2} - 7 (u) - 6}{x - 9}$

Paso 5.4.1.2

Reescribe $- 7$ como $2$ más $- 9$

$\frac{3 u^{2} + (2 - 9) u - 6}{x - 9}$

Paso 5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 u^{2} + 2 u - 9 u - 6}{x - 9}$

Paso 5.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 u^{2} + 2 u) - 9 u - 6}{x - 9}$

Paso 5.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{u (3 u + 2) - 3 (3 u + 2)}{x - 9}$

Paso 5.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 2$ .

$\frac{(3 u + 2) (u - 3)}{x - 9}$

Paso 5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 3)}{x - 9}$